Capítulo  4 

 

 

 

VIBRACIÓN LIBRE

 

 

 

4.1             TEORÍA GENERAL DE VIBRACIONES

 

El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introducción expone de forma resumida algunos aspectos teóricos de las vibraciones de los sistemas elásticos, que ayudarán a comprender los métodos de cálculo de la acción de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinámicos.

 

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseño requiere la consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.

 

Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración.

 

Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son más complicadas y no muy conocidas.

 

Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez.

 

Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibración forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de estructuras.            

 

4.2             DEFINICIÓN

 

Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna (p(t) = 0).

 

 

4.3             VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA


 

 


Figura 4.1 Sistema SDF: vibración libre sin amortiguamiento [ref. 12]

 

 

La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es:

                                                         (4.1)

                                                            (4.2)

 

donde wn es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es igual a:

 

                                                                        (4.3)

 

El desarrollo de la ecuación diferencial 4.1 se expone en el Apéndice I, y su solución es:

 

                                                           (4.4)

 

Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales: u(0) y , el desplazamiento y la velocidad iniciales respectivamente. Obteniéndose por lo tanto:

 

                                                     (4.5)

 

Las Figuras 4.1(a) y 4.1(b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la ecuación 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, Tn, y es:

 

                                                                         (4.6)

 

La frecuencia cíclica natural de vibración, fn, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 [s] de tiempo y su valor es:

                                                                         (4.7)

 

Las propiedades de vibración natural, wn, Tn y fn, dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el término “natural” es utilizado para enfatizar el hecho de que éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste esta en estado de vibración libre.

 

El movimiento representado por la ecuación 4.5 puede también ser expresado en la forma:

 

                                                                 (4.8)


 

Figura 4.2 Vibración libre, representación vectorial [ref. 13]

 

 

Donde u0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual esta dada por:

 

                                                                (4.9)

Y el ángulo de fase f esta dado por:

                                                                  (4.10)

 

En la Figura 4.2 esta representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta esta dada por la parte real o proyección horizontal de los dos vectores de rotación; y el ángulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del término del coseno.

 

4.4             VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

 

La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es:

 

                                                                (4.11)

 

dividiendo la ecuación 4.11 por la masa se obtiene:

 

                                                               (4.12)

donde:                                                                                                                                   (4.13)

                                                          (4.14)

El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, y la razón o relación de amortiguamiento crítico, x, son parámetros que determinan el tipo de movimiento del sistema.

 

4.4.1        Tipos de Movimiento


 

 


Figura 4.3 Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado [ref. 12]

 

 

La Figura 4.3 ilustra el desarrollo de este punto; ésta es una gráfica del movimiento u(t) debido a un desplazamiento inicial u(0) para tres valores distintos de x :

 

§         Si c=ccr ó x=1         El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razón es  llamado sistema críticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento crítico.

 

§         Si c>ccr ó x>1            El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado.

 

§         Si c<ccr ó x<1         El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud que decrece progresivamente, y es llamado sistema subamortiguado.

 

El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, llamado así debido a que es un valor pequeño de c que inhibe completamente la oscilación y representa la línea de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio.

 

Las estructuras civiles (puentes, edificios, embalses, etc.) poseen una relación de amortiguamiento x<1 la cual las cataloga como sistemas subamortiguados, es por esta razón que dichos sistemas se estudian con mayor preferencia.

 

4.4.2        Sistema subamortiguado

 

Para un sistema subamortiguado (x<1) el desarrollo de la ecuación 4.12 se encuentra en el Apéndice I, y su solución es:

                                        (4.15)

 

Donde wD es la frecuencia natural de vibración amortiguada y su valor es:

 

                                                                      (4.16)

 


 

Figura 4.4 Efecto del amortiguamiento en Vibración libre

 

 

Nótese que la ecuación 4.15 aplicada a un sistema no amortiguado (x=0) se reduce a la ecuación 4.5. La Figura 4.4 ilustra una comparación entre un sistema subamortiguado y uno sin amortiguamiento; se observa que la amplitud del sistema no amortiguado es la misma en todos los ciclos de vibración, en cambio para el sistema amortiguado la amplitud decrece y lo hace en forma exponencial.

 

 

 

El valor del periodo natural de vibración amortiguado es:

 

                                                                       (4.17)

 

y está relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente forma:

 

                                                                    (4.18)

 

La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo TD es constante, y el decremento logarítmico está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por:

 

                                                 (4.19)

 

y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:

 

                                                               (4.20)

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