Capítulo  5 

 

 

 

VIBRACIÓN FORZADA

CARGA ARMÓNICA

 

 

5.1             JUSTIFICACIÓN

 

El estudio de la respuesta del sistema de un solo grado de libertad (SDF) a la acción de una carga armónica establece bases para el entendimiento de la respuesta de estructuras más complejas a excitaciones externas.

 

 

5.2             SISTEMA NO AMORTIGUADO CON CARGA ARMÓNICA

 

5.2.1       Ecuación de Movimiento

 

Estableciendo p(t)=p0 · senwt en la ecuación 3.4 se obtiene la ecuación diferencial[1] que gobierna el movimiento forzado por carga armónica para un sistema no amortiguado:

 

                                                               (5.1)

 

Donde p0 es la amplitud o valor máxima de la fuerza (Figura 5.1) y w es la frecuencia de excitación. La solución particular a la ecuación diferencial 5.1 es:

                                                        (5.2)

 

La solución complementaria de la ecuación 5.1 es:

 

                                                         (5.3)

 

La solución total es la suma de ambas ecuaciones:

 

                                      (5.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Figura 5.1 Fuerza armónica

 

Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales u(0) y ú(0), es así que se tiene:

                       (5.5)

 

Esta ecuación contiene dos componentes de vibración distintas:

 

§         El términosenwt” para la oscilación en frecuencia de excitación; representa el estado permanente de vibración debido a que siempre está presente porque la fuerza aplicada no depende de las condiciones iniciales.

 

§         Los términos “sen wnt” y “cos wnt” para la oscilación en frecuencia natural del sistema; representan el estado transitorio de vibración que depende de u(0) y ú(0), el cual existe a pesar de que estos valores sean nulos. El término “estado transitorio de vibración” se debe a que el amortiguamiento, siempre presente en sistemas reales, hace que la vibración libre decrezca en el tiempo. 


Figura 5.2 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armónica: w/wn=0.2; u(0)=0 y ú(0)=wnp0/k

 


La ecuación 5.5 para condiciones iniciales en reposo u(0)  = ú(0) = 0 es expresada de la siguiente forma:

 

                                          (5.6)

 

5.2.2       Resonancia

 

Ignorando el efecto dinámico de la aceleración en la ecuación 5.1 se obtiene como resultado la deformación estática en cada instante de tiempo:

                                                                   (5.7)

El máximo valor de esta deformación es:

                                                                        (5.8)

 

Por lo tanto la respuesta dinámica del estado permanente, una oscilación sinoidal en frecuencia de excitación, puede ser expresada como:

                                                       (5.9)

 

El factor entre corchetes de la ecuación 5.9 es graficado contra la relación de frecuencias en la Figura 5.3, de la cual se observa que:

 

§         Para w/wn < 1 ó w<wn el factor es positivo indicando que u(t) y p(t) tienen el mismo signo, lo que significa que el desplazamiento está en fase con la fuerza aplicada. (el sistema está desplazado en la misma dirección de la fuerza)

 

§         Para w/wn > 1 ó w>wn el factor es negativo indicando que u(t) y p(t) tienen signos opuestos, lo que significa que el sistema estará fuera de fase con la fuerza aplicada. (el sistema está desplazado en dirección opuesta a la fuerza)

 

 


 

Figura 5.3 Rd versus relación de frecuencias    

 

La ecuación 5.9 puede ser reescrita en términos de la amplitud u0 y el ángulo de fase f:

 

                                                (5.10)

De donde se tiene que:

                                     (5.11)

 

Donde el factor de deformación Rd es la relación de amplitud de deformación vibratoria u0 y la deformación estática (ust)0 debido a la fuerza p0.

 

Consiguientemente se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de excitación para la cual Rd es máximo. Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante es wn siendo Rd infinito para esta frecuencia y la deformación vibratoria crece indefinidamente, pero ésta se vuelve infinita sólo después de un tiempo infinito.

 

Para w=wn la ecuación 5.6 no es más válida; en este caso la función C·senwt, como elección de una solución particular a la ecuación diferencial[2], falla debido a que ésta ya forma parte de la solución complementaria, por tanto la solución particular ahora es:

 

                                            (5.12)

Y la solución total es:

                                          (5.13)

 

Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales en reposo u(0)=ú(0)=0 es así que se tiene la ecuación de respuesta:

                                                    (5.14)

ó:


                                                  (5.15)

Figura 5.4 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armónica de w=wn

 

En la Figura 5.4 está graficada la ecuación 5.15, de donde se observa que el tiempo requerido para completar un ciclo de vibración es Tn. En cada ciclo el incremento de la amplitud[3] está dado por:

 

                                           (5.16)

 

La interpretación de este resultado académico para estructuras reales es que a medida que la deformación se incrementa, el sistema en algún punto en el tiempo fallará si es frágil o cederá si es dúctil.

 

 

5.3             SISTEMA AMORTIGUADO CON CARGA ARMÓNICA

 

5.3.1       Ecuación de movimiento

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Figura 5.6 Respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica

 

 

Incluyendo el amortiguamiento viscoso en la ecuación 5.1 la ecuación diferencial[4] que gobierna este sistema es:

 

                                                         (5.17)

 

La solución particular de esta ecuación es:

 

                                                        (5.18)

Donde:

                                                  (5.19)

 

 

La solución complementaria de la ecuación 5.17 es:

 

                                                 (5.20)

Y la solución completa es:

 

                                 (5.21)

 

Donde las constantes A y B pueden determinarse mediante procedimientos estándar en términos del desplazamiento u(0) y la velocidad ú(0).

 

La Figura 5.5 muestra la ecuación 5.21 graficada para w/wn = 0.2  x = 0.05  u(0)  = 0  y  ú(0)  =wn p0 / k. La respuesta total es representada  por una línea de trazo continuo y la respuesta del estado permanente  por una línea discontinua, la diferencia entre ambas es la respuesta transitoria, la cual decae exponencialmente con el tiempo en un valor que depende de w/wn y x ; quedando únicamente la respuesta forzada y es por esta razón que es llamada respuesta del estado permanente.

 

 

5.3.2       Resonancia

 

Para w=wn las constantes C y D de la ecuación 5.19 son:

 

Las constantes A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales en reposo u(0) = ú(0)=0 y para w=wn:

 

 

Entonces la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica para w=wn es:

 

                           (5.22)

 

Esta ecuación de respuesta es graficada en la Figura 5.6, se observa que la magnitud de los desplazamientos es menor que los presentados por la Figura 5.4, y que el límite de respuesta está dado por:

 

                                                                   (5.23)

 

Para amortiguamientos pequeños el término del seno en la ecuación 5.22 es pequeño y , por lo que la ecuación 5.22 toma la forma de:

                                           (5.24) 

La deformación varía con el tiempo como una función coseno, la amplitud se incrementa en función del tiempo de acuerdo a la envolvente mostrada en la Figura 5.6 como una línea de trazo discontinuo. Es importante el notar que la amplitud del estado permanente de deformación del sistema es influenciada fuertemente por el amortiguamiento.

 

El desplazamiento pico uj después de j ciclos de vibración es determinado sustituyendo t=jTn en la ecuación 5.24, estableciendo coswnt=1 y utilizando la ecuación 5.23, de donde se tiene:

 

                                                                   (5.25)

 


Respuesta para un sistema amortiguado de x = 0.05 sujeto a carga armónica w=wn

Figura 5.7 Respuesta para un sistema amortiguado de x = 0.05 sujeto a carga armónica w=wn

 

 

5.3.3       Deformación Máxima

 

La deformación en el estado permanente del sistema debida a una carga armónica descrita en la ecuación 5.18 y la 5.19 puede ser reescrita como:

 

                                                (5.26)

 

Donde  y  sustituyendo por C y D :

 

                                            (5.27)

 

                                                                  (5.28)

 

Rd es graficada en función de w/wn en la Figura 5.7(a) para algunos valores de x,  notar que todas las curvas están por debajo de la curva correspondiente a x =0. El amortiguamiento reduce Rd y por consiguiente la amplitud de deformación también reduce. La magnitud de esta reducción depende de la frecuencia de excitación de la siguiente manera:

 

§         Si w/wn << 1 (la fuerza está variando lentamente) Rd es sólo levemente más grande que 1 y es esencialmente independiente del amortiguamiento.

                                                                  (5.29)

 

Este resultado implica que la respuesta dinámica es esencialmente la misma que la deformación estática y es controlada por la rigidez del sistema.

 

§         Si w/wn >> 1 (la fuerza está variando rápidamente) Rd tiende a cero y no es afectada por el amortiguamiento. Para valores grandes de w/wn el término (w/wn)4 es dominante en la ecuación  5.27, la cual puede ser aproximada por:

                                                          (5.30)

 

Este resultado implica que la respuesta es controlada por la masa del sistema.

 

§         Si w/wn 1 (la frecuencia de excitación se acerca a la frecuencia natural del sistema) Rd es sensible al amortiguamiento, implicando que la deformación dinámica puede ser más grande que la estática. Si w=wn la amplitud máxima es la expresada por la ecuación 5.23:

 

                                                             (5.31)

 

       Este resultado implica que la respuesta es controlada por el amortiguamiento de la estructura.

 

 

5.3.4       Factores de Respuesta Dinámica

 

En este punto se introducen factores de respuesta de deformación, velocidad y aceleración que definen la amplitud de estas tres cantidades de respuesta. La ecuación 5.10 se puede escribir de la siguiente forma:

 

                                                     (5.32)

 

Derivando la ecuación 5.32 se obtiene la respuesta para la velocidad:

 

                                                   (5.33)

 

Donde el factor de respuesta para la velocidad esta relacionado con Rd mediante:

 

                                                                 (5.34)

 

Derivando la ecuación 5.33 se obtiene la respuesta para la aceleración:

 

                                                       (5.35)

 

Donde el factor de respuesta para la aceleración esta relacionado con Rd mediante:

 

                                                               (5.36)

En la Figura 5.7 están graficados los tres factores de respuesta dinámica en función de w/wn. Estas cantidades están relacionadas de la siguiente forma:

 

                                                           (5.37)

 

que hace posible el presentar estas tres gráficas en una sola utilizando un papel tetralogarítmico.


 

 


Figura 5.8 Factores de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración para un sistema amortiguado sujeto a la acción de una carga armónica.

 

 

5.3.5       Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante

 

La frecuencia Resonante está definida como la frecuencia de excitación en la cual ocurre la amplitud máxima de respuesta. La frecuencia resonante es determinada estableciendo la primera derivada igual a cero de Rd  Rv y Ra  con respecto de w/wn para :

 

Frecuencia resonante para el desplazamiento:   

 

Frecuencia resonante para la velocidad:            

 

Frecuencia resonante para la aceleración:                     

 

Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son iguales a wn. Los tres factores de respuesta dinámica en sus respectivas frecuencias resonantes son:

 

                                  (5.38)

 

 

Capitulo 4 Capitulo 6

Contenido

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



[1] La solución de esta ecuación se encuentra en el Apéndice I

[2] El desarrollo de esta expresión se encuentra en el Apéndice I

[3] Anil K. Chopra, pp 66 [ref. 12]

[4] La solución de esta ecuación se encuentra en el Apéndice I