Capítulo  13 

 

 

 

MÉTODO DINÁMICO

SUPERPOSICIÓN MODAL

 

13.1         INTRODUCCIÓN

 

El análisis debe basarse en una representación apropiada del movimiento del suelo y debe realizarse utilizando los principios aceptados de la dinámica.

 

 

13.2         VENTAJAS DEL ANÁLISIS MODAL

 

El procedimiento de análisis modal es apropiado para calcular la respuesta de estructuras complejas de varios grados de libertad a movimientos sísmicos. La respuesta estructural es modelada como la máxima respuesta de un número de oscilaciones de un simple grado de libertad, cada uno representando un modo específico de vibración de la estructura real. Combinando la respuesta de los modos individuales se obtienen las fuerzas externas equivalentes, la cortante basal y el cortante de piso, que pueden usarse de la misma forma como en el procedimiento de fuerza lateral estática. El procedimiento de análisis modal tiene la ventaja de determinar la distribución real de las fuerzas laterales, de las masas y una distribución de rigideces a lo largo de la altura de una estructura irregular, que puede diferir apreciablemente de la distribución lineal simplificada asumida en el método de la fuerza lateral estática. Además, considera los efectos de los modos más altos de la respuesta de una estructura, alguno de los cuales puede contribuir significativamente en la respuesta global de la estructura.

 

 

13.3         PROCEDIMIENTO DEL ANÁLISIS MODAL

 

Las fases necesarias en el procedimiento del análisis modal se basan en seleccionar un espectro de respuesta sísmica apropiado, aplicando una técnica de análisis dinámico para un modelo matemático de la estructura, combinando la respuesta de un número suficiente de modos para asegurar de que por lo menos el 90% de la masa participante de la estructura esté incluido en el cálculo de respuesta para cada dirección horizontal principal.

 

El espectro de diseño presentado en el código UBC e ilustrado en la Figura 13.1, puede utilizarse después de aplicarse valores apropiados de Ca y Cv consistentes con el lugar específico. Las ordenadas de aceleración del espectro de diseño deben multiplicarse por la aceleración de la gravedad. Alternativamente, se pueden utilizar espectros de diseño de lugares específicos como el ilustrado en la Figura 10.6. El espectro de diseño debe suavizarse para eliminar reducciones de respuesta para periodos específicos, debe tener como mínimo 10% de probabilidad de ser excedido en 50 años, además, el espectro debe desarrollarse para una relación de amortiguamiento de 5%, a menos que se demuestre que un valor diferente sea consistente con el comportamiento estructural anticipado a la intensidad de vibración establecida para el sitio.


Figura 13.1 Espectro de respuesta de diseño

 

 


Como se dijo anteriormente es necesario una cantidad suficiente de modos para asegurar que el 90% de la masa participante de la estructura este incluida en el cálculo. De este modo el peso total de la estructura está dado por:

                                                        (13.1)

y el peso efectivo para un modo dado esta definido por:

                                                      (13.2)

                                                        (13.3)

donde:

            P = Factor de participación para un modo dado = (Swi·fi)/Swi·fi2

 

Para una forma modal normalizada, el factor de participación se reduce a:

                                                              (13.4)

Por tanto la ecuación 13.2 se reduce a:

                                                      (13.5)

La relación entre el peso efectivo y el peso total de la estructura está dado por:

                                                       (13.6)

donde:

            SWE = es la suma de los pesos efectivos para todos los modos.

 

Por consiguiente, debe definirse un número suficiente de modos para asegurar que la suma de sus pesos efectivos sea:

                                                  (13.7)

 

Para asegurar consistencia con los principios básicos de diseño adoptados en el procedimiento de fuerza lateral estática, el código UBC estipula un valor mínimo del cortante basal calculado por un análisis dinámico, y todos los parámetros correspondientes de respuesta deben estar de acuerdo con:

 

 

 

 

 

El código UBC proporciona dos métodos de análisis dinámico: el análisis espectral y el análisis por historia del tiempo, que se describen a continuación.

 

 

13.4         ANÁLISIS ESPECTRAL[1]

 

Es un análisis dinámico elástico de una estructura que utiliza la respuesta dinámica máxima de todos los modos que tienen una contribución importante a la respuesta estructural total. Las respuestas modales máximas se calculan utilizando las ordenadas de la curva de espectro de respuesta apropiada que corresponda a los periodos modales. Las contribuciones modales máximas se combinan de manera estadística para obtener una respuesta estructural total aproximada.

 

Los parámetros de respuesta correspondientes incluyendo fuerzas, momentos y desplazamientos, deben denominarse Parámetros de Respuesta Elástica.

 

 

13.4.1  Numero de Modos

 

Debe satisfacerse el requisito de incluir todos los modos importantes, demostrando que en los modos considerados, por lo menos el 90% de la masa participante de la estructura este incluida en el cálculo de respuesta para cada dirección horizontal principal, ver la ecuación 13.7.

 

Los modos de vibración deben obtenerse utilizando metodologías establecidas de dinámica estructural, tales como: el Análiis de Eigenvectores o el Análisis de los Vectores de Ritz

 

 

13.4.2  Combinación de Modos

 

Las fuerzas máximas del elemento, desplazamientos, fuerzas cortantes por piso y reacciones de base para cada modo, deben combinarse mediante métodos reconocidos, tales como: El método CQC, Combinación Cuadrática Completa, método descrito por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo. (1981). El método GMC, Combinación Modal General, método descrito por Gupta (1990). El método SRSS, Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados. El método de La suma de valores absolutos, ABS

 

Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el análisis, los efectos de interacción modal deben considerarse cuando se combinen las máximas modales

 

 

13.4.3  Efectos de Dirección

 

En las zonas sísmicas 2, 3 y 4, deben considerarse los efectos de las fuerzas sísmicas que actúan en direcciones diferentes a los ejes principales en cada una de las siguientes circunstancias:

 

§         La estructura tiene irregularidad de planta del Tipo 5 como se indica en la Tabla 11.2

§         La estructura tiene irregularidad de planta del Tipo 1 en ambos ejes principales como se indica en la Tabla 11.2

§         Cuando una columna de una estructura forma parte de dos o más sistemas interceptantes de resistencia a las fuerzas sísmicas

 

Los efectos ortogonales pueden tenerse en cuenta suponiendo la concurrencia simultanea del 100% de las fuerzas sísmicas en una dirección y el 30% de las fuerzas sísmicas en la dirección perpendicular. Debe utilizarse la combinación que requiera la mayor resistencia del elemento. Alternativamente, los efectos de las dos direcciones ortogonales pueden combinarse basándose en la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados, SRSS. Cuando se utilice el método SRSS en la combinación de los efectos direccionales, a cada término calculado se le debe asignar el signo del resultado más conservador.

 

 

13.4.4  Torsión

 

El análisis debe considerar los efectos torsionales, incluyendo los efectos torsionales accidentales como se describe en la sección 12.5.1. Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el análisis, los efectos de torsión accidental deben incluirse haciendo los ajustes apropiados en el modelo, como ajustes de ubicaciones de masas o mediante los procedimientos estáticos equivalentes.

 

 

13.4.5  Sistemas Dobles

 

Cuando las fuerzas laterales son resistidas por un sistema doble, tal como se define en la sección 11.3.4, el sistema combinado debe tener capacidad para resistir el esfuerzo de corte basal que se obtiene por medio del análisis dinámico. El pórtico resistente a momentos debe diseñarse para resistir independientemente por lo menos el 25% del esfuerzo cortante basal máximo admisible de diseño, y puede llevarse a cabo por medio de un análisis dinámico apropiado o por medio de un análisis de fuerza horizontal equivalente.

 

 

13.5         EL ANÁLISIS POR HISTORIA DEL TIEMPO (CRONOLÓGICO)[2]

 

Determina la respuesta de la estructura a través de una integración numérica sobre pequeños incrementos de tiempo, cuando la base está sujeta a una cronología específica del movimiento del suelo.

La metodología de un análisis dinámico cronológico puede ser utilizada cuando a juicio del ingeniero diseñador ella describe adecuadamente las propiedades dinámicas de la estructura y conduce a resultados representativos de los movimientos sísmicos de diseño. El modelo matemático empleado puede ser linealmente elástico o inelástico.

 

 

13.6         SIMULADOR ESTRUCTURAL.

 

Esta sección describe los tipos básicos de análisis disponibles en el Programa SAP2000

 

Diferentes tipos de análisis son disponibles en el Programa:

 

­        Análisis del espectro de respuesta para una respuesta sísmica

­        Análisis dinámico cronológico: lineal, no lineal y periódico.

 

Estos diferentes tipos de análisis pueden desarrollarse en la misma ejecución del programa, con las siguientes excepciones:

 

 

Cuando se realiza el análisis del efecto P-delta, afecta los resultados de todos los otros análisis realizados en la misma ejecución del programa.

 

 

13.6.1  Análisis de Eigenvectores

 

El análisis de eigenvectores determina las formas modales para vibración libre no amortiguada y frecuencias del sistema. Estos modos naturales proporcionan una visión excelente en el comportamiento de la estructura. Éstos también pueden usarse como base para el análisis del espectro de respuesta o el análisis dinámico cronológico, aunque se recomiendan los vectores de Ritz para este propósito.

 

El análisis de Eigenvectores involucra la solución de la ecuación de eigenvalores generalizado dado por la ecuación 10.17:

donde:

            K = es la matriz de rigidez

            M = es la matriz diagonal de masa

            W = es la matriz diagonal de eigenvalores

            F = matriz de los correspondientes eigenvectores (formas modales)

 

Cada par de Eigenvalor-Eigenvector es llamado modo de vibración natural de la estructura. Los Modos se identifican por los números del 1 al n, en el orden en que los modos son encontrados por el programa.

 

El eigenvalor es el cuadrado de la frecuencia circular, w, para ese modo, (a menos de que se utilice un cambio de frecuencia). La frecuencia cíclica, f, y periodo, T, del modo se relacionan con w por medio de:

 

              y            

 

Se puede especificar el número de modos a ser encontrado, una tolerancia de la convergencia, y el rango de frecuencia de interés. Estos parámetros se describen a continuación:

 

 

Numero de Modos

 

Se puede especificar el número de modos, n, a ser hallado. El programa busca los n Modos de frecuencias bajas (periodos largos). Si un cambio de frecuencia diferente de cero ha sido especificado, el programa buscará los n modos más cercanos al cambio de frecuencia.

 

El número de modos realmente hallados, n, esta limitado por:

 

 

Un grado de masa de libertad es cualquier grado activo de libertad que posee masa traslacional o el momento de masa rotacional de inercia. La masa puede asignarse directamente a un nudo o puede venir de los elementos conectados.

 

Sólo los Modos que realmente se encuentran estarán disponibles para cualquier subsecuente análisis del espectro de respuesta o el análisis dinámico cronológico.

 

 

Rango de frecuencia

 

Se puede especificar un rango de frecuencia restringido, en el que se buscarán los Modos de vibración, usando los parámetros:

 

 

El programa buscara sólo los modos con las frecuencias que satisfacen:

 

½ f - shift ½ £ cut

 

El valor por defecto de cut = 0 no restringe el rango de frecuencia de los modos.

 

Los modos son hallados en el orden creciente de distancia de la frecuencia de cambio (shift). Esto continúa hasta alcanzar, cut , el número definido de modos, o el el número de grados de masa de libertad.

 

Una estructura estable tendrá todas las frecuencias naturales positivas. Al realizar un análisis sísmico y más otros análisis dinámicos, los modos de bajas-frecuencia son normalmente de mayor interés. Es entonces apropiado usar un shift igual a cero, resultando en modos de frecuencias bajas de la estructura calculada.

 

Si el programa detecta modos de frecuencias negativas, éste detendrá el análisis puesto que los resultados no tienen sentido. Para evitar problemas es recomendable usar siempre valores positivos de shift con un análisis P-delta, es recomendable también que un análisis preliminar P-delta sea realizado usando shit igual a cero.

 

 

 

Tolerancia de convergencia

 

El SAP2000 resuelve para el par de Eigenvalor-Eigenvector usando un algoritmo de iteración. Durante la fase de solución, el programa proporciona un eigenvalor aproximado después de cada iteración. Para mayores detalles del algoritmo, ver Wilson y Tetsuji (1983).

 

Se puede especificar la tolerancia de la convergencia relativa, tol, para controlar la solución; el valor por defecto es tol =10-5, que es un valor aceptable, para obtener buenos resultados y relativa rapidez en la solución del modelo. Se puede establecer valores más pequeños de tol, para obtener mejores aproximaciones en los resultados del par de Eigenvalor-Eigenvector a costa de mayor tiempo de computo.

 

 

13.6.2  Análisis del Vector de Ritz

 

Las investigaciones han indicado que las formas modales en vibración libre no son las mejores bases para el análisis de superpoción modal de estructuras sujetas a cargas dinámicas. Ha sido demostrado (Wilson, Yuan, y Dickens, 1982) que el análisis dinámico basado en un juego especial de vectores de Ritz dependientes de carga, proporcionan resultados más exactos que el uso del mismo número de formas modales naturales.

 

La razón de que los vectores de Ritz dan excelentes resultados, es que son generados tomando en cuenta la distribución espacial de la carga dinámica.

 

 

13.6.3  Resultados del Análisis Modal

 

Varias propiedades de los modos de vibración son impresos en el archivo de resultados. Esta información es la misma independientemente si se usa un análisis de eigenvectores o un análisis de vectores de Ritz, y es descrito en las siguientes secciones:

 

 

Periodos y Frecuencias

 

Las siguientes propiedades de periodos y frecuencias son impresas para cada Modo:

 

 

Éstos pueden hallarse en el archivo de resultados bajo el título de:

 

MODAL PERIODS AND FRECUENCIES

 

 

Factor de Participación

 

Los factores de participación para los n modos correspondientes, son referidos al sistema de coordenadas globales X, Y y Z, y puede hallarse en el archivo de resultados bajo el título de:

 

MODAL PARTICIPATION FACTORS

 

Las magnitudes reales y los signos de los factores de participación no son importantes. Lo que es importante es el valor relativo de los tres factores para un modo dado.

 

 

Relación masa participación

 

La relación masa participación para un Modo dado es una medida de cómo de importante es el Modo para calcular la respuesta para una carga de aceleración en cada una de las direcciones globales. Esto es útil para determinar la exactitud del análisis del espectro de respuesta y el análisis dinámico cronológico. La relación masa participación no proporciona una información sobre la exactitud de análisis dinámico cronológico sujeta a otras cargas.

 

La relación masa participación es expresada en porcentaje y puede hallarse en el archivo de resultados bajo el título de:

MODAL PARTICIPATING MASS RATIOS

 

La suma acumulativa de la relación masa participación para todos los Modos hasta el Modo n es impreso con los valores individuales para cada Modo. Esto proporciona una medida simple de cuantos modos son requeridos para lograr un nivel dado de exactitud para una carga de aceleración del suelo.

 

 

13.6.4  Análisis del Espectro de Respuesta

 

El análisis del espectro de respuesta busca la máxima respuesta probable. La aceleración sísmica del suelo en cada dirección es dada como una curva digitalizada del espectro de respuesta de seudo aceleración espectral de respuesta versus el periodo de la estructura.

 

Aunque pueden especificarse las aceleraciones en las tres direcciones, sólo un resultado positivo es producido para cada cantidad de respuesta. Las cantidades de respuesta incluyen: desplazamientos, fuerzas y esfuerzos. Cada cálculo del resultado representa una medida estadística de la máxima magnitud probable para una cantidad de respuesta.

 

El análisis del espectro de respuesta es realizado usando el método de la superposición modal  (Wilson y Button, 1982). Los Modos pueden calcularse usando un análisis de eigenvectores o un análisis de vectores de Ritz. Se recomiendan los vectores de Ritz, puesto que éstos dan resultados más exactos para el mismo numero de Modos.

 

Cualquier número de análisis del espectro de respuesta puede realizarse en una sola ejecución del programa. Cada caso de análisis es llamado Spec, para el que se asigna una única etiqueta. Cada Spec puede diferir en el espectro de aceleración aplicado y la manera en que sus resultados son combinados. Los resultados de cada Spec pueden imprimirse directamente o usados en combinaciones de carga.

 

En las siguientes secciones se detallan los parámetros que se utilizan para definir cada Spec.

 

 

Sistema de coordenadas locales

 

Cada Spec tiene su propio sistema de coordenadas locales del espectro de respuesta usado para definir la dirección de la carga de aceleración del suelo. Los ejes de este sistema local son denotados por: 1, 2 y 3, por defecto éstos corresponden a las direcciones globales X, Y y Z respectivamente.

 

Se puede cambiar la orientación del sistema de coordenadas locales especificando:

 

 

El eje local 3 es siempre el mismo que el eje Z del sistema de coordenadas csys. Los ejes locales 1 y 2 coinciden con los ejes X y Y de csys si el ángulo ang es cero. Por otra parte, ang es el ángulo del eje X con el eje local 1, medido según la ley de la mano derecha.

 

 

Curva del espectro de respuesta

 

La curva del espectro de respuesta para una dirección dada se define por los puntos digitalizados de una respuesta de seudo aceleración espectral versus el periodo de la estructura. Todos los valores para las abscisas y ordenadas de esta función deben ser mayores o iguales a cero.

 

Se puede especificar un factor de escala, sf, para multiplicar las ordenadas (respuesta de seudoaceleración espectral) de la función. Esto es a menudo necesario para convertir los valores dados en términos de la aceleración debido a la gravedad para las unidades consistentes al resto del modelo.

 

La curva del espectro de respuesta debe reflejar el amortiguamiento presente en la estructura a ser modelada. Note que el amortiguamiento es esencial en esta curva del espectro. Éste no es afectado por la relación de amortiguamiento, damp, usado para el método CQC o GMC de combinación modal, aunque normalmente estos dos valores de amortiguamiento deben ser el mismo.

 

 

Combinación Modal

 

Para una dirección dada de aceleración los desplazamientos máximos, las fuerzas, y los esfuerzos son calculados a lo largo de la estructura para cada uno de los Modos de Vibración. Estos valores modales se combinan para una cantidad de respuesta dada para producir un solo resultado positivo para la dirección de aceleración dada utilizando uno de los siguientes métodos:

 

 

Método CQC

 

Se especifica modc=CQC para combinar los resultados modales por la técnica de Combinación Cuadrática Completa descrita por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo (1981). Es el método presente por defecto en el programa.

 

El método CQC toma en cuenta el acoplamiento estadístico entre modos estrechamente espaciados causados por el amortiguamiento. Incrementando el amortiguamiento modal, incrementa el acoplamiento entre modos estrechamente espaciados. Si el amortiguamiento es cero para todos los modos, este método degenera en el método SRSS.

 

Puede especificarse una relación de amortiguamiento modal para CQC, damp, medido como una fracción del amortiguamiento critico: 0£damp£1. Este amortiguamiento igualmente afecta a todos los modos, y debe reflejar el amortiguamiento presente de la estructura a ser modelada.

 

 

Método GMC

 

SE especifica modc=CQC para combinar los resultados modales por la técnica de Combinación Modal General, descrito por Gupta (1990). Este método además de tomar en cuenta el acople estadístico entre modos estrechamente espaciados, (CQC), también incluye las correlaciones entre los modos con respuesta rígida.

 

Adicionalmente, este método requiere especificar dos frecuencias, f1 y f2 que definen la respuesta rígida. Éstos deben satisfacer: 0<f1<f2. Éste método asume respuesta no rígida debajo de la frecuencia f1, una respuesta completamente rígida encima de la frecuencia f2, y una cantidad interpolada de respuesta rígida para las frecuencias entre f1 y f2.

 

Las frecuencias f1 y f2 son propiedades del sismo de diseño, no de la estructura.

El valor por defecto de f2 es cero, que indica una frecuencia infinita. Para este valor por defecto, el método GMC da resultados similares al método CQC.

 

 

 

Método SRSS

 

Se especifica modc=SRSS para combinar los resultados modales por la técnica de la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados. Este método no toma en cuenta el amortiguamiento, ni ningún acople de modos, como lo hacen los métodos CQC y GMC.

 

 

Método de la Suma Absoluta

 

Se especifica modc=ABS para combinar los resultados modales tomando la suma absoluta de sus valores. Este método es normalmente muy conservador.

 

 

13.6.5  Resultados del Análisis del Espectro de Respuesta

 

Los resultados para cada análisis del espectro de respuesta se encuentran en el archivo de resultados. Esta información es descrita en las siguientes secciones:

 

 

Aceleraciones y amortiguamiento

 

El amortiguamiento modal y las aceleraciones del suelo actuando en cada dirección son impresos para cada modo bajo el título de:

 

RESPONSE SPECTRUM ACCELERATIONS

 

El valor del amortiguamiento para cada modo es el especificado para el Método CQC y GMC, más el amortiguamiento modal contribuido por el amortiguamiento efectivo en elementos no lineales, si es que hubiera.

 

Las aceleraciones impresas para cada modo son los valores reales interpolados de la curva de espectro de respuesta para el periodo respectivo. Las aceleraciones son siempre referidos a los ejes locales del análisis del espectro de respuesta. Ellos son identificados en el archivo de resultados como U1, U2 y U3.

 

 

Amplitudes Modales

 

Estos valores son impresos en el archivo de resultados bajo el título de:

 

RESPONSE SPECTRUM MODAL AMPLITUDES

 

 

Factores de Correlación Modal

 

Cuando el tipo de combinación modal CQC o GMC es definido, una matriz de correlación modal parcial es impreso en el archivo de resultados. Esta matriz muestra el acoplamiento asumido entre modos estrechamente-espaciados. Los factores de la correlación siempre están entre cero y uno.

 

Los factores de correlación acoplando cada modo con los próximos nueve modos más altos son impresos en el archivo de resultados bajo el título de:

 

RESPONSE SPECTRUM MODAL CORRELATIONS

 

Esta matriz de correlación es simétrica.

 

 

 

Reacciones en la Base

 

Las reacciones en la base son las fuerzas totales y momentos sobre los soportes (restricciones y resortes) para resistir las fuerzas de inercia debido a las cargas del espectro de respuesta (cargas laterales). Éstos son impresos en el archivo de resultados bajo el título de:

 

RESPONSE SPECTRUM BASE REACTIONS

 

Éstos están separadamente impresos para cada Modo individual y cada dirección de cargar sin ninguna combinación. Las reacciones totales están impresas después de realizar la combinación modal y la combinación direccional.

 

Las fuerzas de reacción y momentos son siempre referidos a los ejes locales del análisis del espectro de respuesta. Éstos se identifican en el archivo de resultados como F1, F2, F3, M1, M2, y M3.

 

 

 

Capitulo 12 Capitulo 14

Contenido

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



[1] UBC, Sección 16331.5 [ref.15]

[2] UBC, Sección 16331.6 [ref.15]