Capítulo 13
13.1 INTRODUCCIÓN
El análisis debe basarse en una representación apropiada del movimiento del suelo y debe realizarse utilizando los principios aceptados de la dinámica.
13.2 VENTAJAS DEL ANÁLISIS MODAL
El
procedimiento de análisis modal es apropiado para calcular la respuesta de
estructuras complejas de varios grados de libertad a movimientos sísmicos. La
respuesta estructural es modelada como la máxima respuesta de un número de
oscilaciones de un simple grado de libertad, cada uno representando un modo
específico de vibración de la estructura real. Combinando la respuesta de los
modos individuales se obtienen las fuerzas externas equivalentes, la cortante
basal y el cortante de piso, que pueden usarse de la misma forma como en el
procedimiento de fuerza lateral estática. El procedimiento de análisis modal
tiene la ventaja de determinar la distribución real de las fuerzas laterales,
de las masas y una distribución de rigideces a lo largo de la altura de una
estructura irregular, que puede diferir apreciablemente de la distribución
lineal simplificada asumida en el método de la fuerza lateral estática. Además,
considera los efectos de los modos más altos de la respuesta de una estructura,
alguno de los cuales puede contribuir significativamente en la respuesta global
de la estructura.
13.3 PROCEDIMIENTO DEL ANÁLISIS MODAL
Las
fases necesarias en el procedimiento del análisis modal se basan en seleccionar
un espectro de respuesta sísmica apropiado, aplicando una técnica de análisis
dinámico para un modelo matemático de la estructura, combinando la respuesta de
un número suficiente de modos para asegurar de que por lo menos el 90% de la
masa participante de la estructura esté incluido en el cálculo de respuesta
para cada dirección horizontal principal.
El
espectro de diseño presentado en el código UBC e ilustrado en la Figura 13.1,
puede utilizarse después de aplicarse valores apropiados de Ca
y Cv consistentes con el lugar específico. Las ordenadas de
aceleración del espectro de diseño deben multiplicarse por la aceleración de la
gravedad. Alternativamente, se pueden utilizar espectros de diseño de lugares
específicos como el ilustrado en la Figura 10.6. El espectro de diseño debe
suavizarse para eliminar reducciones de respuesta para periodos específicos,
debe tener como mínimo 10% de probabilidad de ser excedido en 50 años, además,
el espectro debe desarrollarse para una relación de amortiguamiento de 5%, a
menos que se demuestre que un valor diferente sea consistente con el
comportamiento estructural anticipado a la intensidad de vibración establecida
para el sitio.
Figura 13.1 Espectro de respuesta de diseño
Como se dijo anteriormente es necesario una cantidad
suficiente de modos para asegurar que el 90% de la masa participante de la
estructura este incluida en el cálculo. De este modo el peso total de la
estructura está dado por:
(13.1)
y el
peso efectivo para un modo dado esta definido por:
(13.2)
(13.3)
donde:
P = Factor de participación
para un modo dado = (Swi·fi)/Swi·fi2
Para
una forma modal normalizada, el factor de participación se reduce a:
(13.4)
Por
tanto la ecuación 13.2 se reduce a:
(13.5)
La
relación entre el peso efectivo y el peso total de la estructura está dado por:
(13.6)
donde:
SWE = es la suma de los pesos
efectivos para todos los modos.
Por
consiguiente, debe definirse un número suficiente de modos para asegurar que la
suma de sus pesos efectivos sea:
(13.7)
Para
asegurar consistencia con los principios básicos de diseño adoptados en el
procedimiento de fuerza lateral estática, el código UBC estipula un valor mínimo
del cortante basal calculado por un análisis dinámico, y todos los parámetros
correspondientes de respuesta deben estar de acuerdo con:
- Para una estructura
regular, usando el espectro de respuesta que presenta el código UBC, el
cortante basal determinado por un análisis dinámico no debe ser menor que
90% del obtenido por el procedimiento de fuerza lateral estática.
- Para una estructura
regular, usando un espectro de respuesta específico de un sitio, el
cortante basal determinado por un análisis dinámico no debe ser menor que
80% del obtenido por el procedimiento de fuerza lateral estática.
- Para una estructura
irregular, el cortante basal adoptado no debe ser menor que el obtenido
por el procedimiento de fuerza lateral estática.
- Para cualquier estructura,
el cortante basal adoptado no debe ser menor que el obtenido por un
análisis dinámico dividido entre un valor apropiado de R.
El
código UBC proporciona dos métodos de análisis dinámico: el análisis espectral
y el análisis por historia del tiempo, que se describen a continuación.
13.4 ANÁLISIS ESPECTRAL[1]
Es un
análisis dinámico elástico de una estructura que utiliza la respuesta dinámica
máxima de todos los modos que tienen una contribución importante a la respuesta
estructural total. Las respuestas modales máximas se calculan utilizando las
ordenadas de la curva de espectro de respuesta apropiada que corresponda a los
periodos modales. Las contribuciones modales máximas se combinan de manera
estadística para obtener una respuesta estructural total aproximada.
Los
parámetros de respuesta correspondientes incluyendo fuerzas, momentos y
desplazamientos, deben denominarse Parámetros de Respuesta Elástica.
13.4.1
Numero
de Modos
Debe
satisfacerse el requisito de incluir todos los modos importantes, demostrando
que en los modos considerados, por lo menos el 90% de la masa participante de
la estructura este incluida en el cálculo de respuesta para cada dirección
horizontal principal, ver la ecuación 13.7.
Los
modos de vibración deben obtenerse utilizando metodologías establecidas de
dinámica estructural, tales como: el Análiis de Eigenvectores o el Análisis de
los Vectores de Ritz
13.4.2
Combinación
de Modos
Las fuerzas máximas del elemento, desplazamientos,
fuerzas cortantes por piso y reacciones de base para cada modo, deben
combinarse mediante métodos reconocidos, tales como: El método CQC, Combinación
Cuadrática Completa, método descrito por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo.
(1981). El método GMC, Combinación Modal General, método descrito por Gupta
(1990). El método SRSS, Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados. El método de
La suma de valores absolutos, ABS
Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el
análisis, los efectos de interacción modal deben considerarse cuando se
combinen las máximas modales
13.4.3
Efectos
de Dirección
En las zonas sísmicas 2, 3 y 4, deben considerarse los
efectos de las fuerzas sísmicas que actúan en direcciones diferentes a los ejes
principales en cada una de las siguientes circunstancias:
§
La estructura tiene irregularidad de planta del Tipo 5
como se indica en la Tabla 11.2
§
La estructura tiene irregularidad de planta del Tipo 1
en ambos ejes principales como se indica en la Tabla 11.2
§
Cuando una columna de una estructura forma parte de dos
o más sistemas interceptantes de resistencia a las fuerzas sísmicas
Los efectos ortogonales pueden tenerse en cuenta
suponiendo la concurrencia simultanea del 100% de las fuerzas sísmicas en una
dirección y el 30% de las fuerzas sísmicas en la dirección perpendicular. Debe
utilizarse la combinación que requiera la mayor resistencia del elemento.
Alternativamente, los efectos de las dos direcciones ortogonales pueden
combinarse basándose en la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados, SRSS.
Cuando se utilice el método SRSS en la combinación de los efectos
direccionales, a cada término calculado se le debe asignar el signo del
resultado más conservador.
13.4.4
Torsión
El análisis debe considerar los efectos torsionales,
incluyendo los efectos torsionales accidentales como se describe en la sección
12.5.1. Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el análisis, los
efectos de torsión accidental deben incluirse haciendo los ajustes apropiados
en el modelo, como ajustes de ubicaciones de masas o mediante los
procedimientos estáticos equivalentes.
13.4.5
Sistemas
Dobles
Cuando las fuerzas laterales son resistidas por un sistema doble, tal como se define en la sección 11.3.4, el sistema combinado debe tener capacidad para resistir el esfuerzo de corte basal que se obtiene por medio del análisis dinámico. El pórtico resistente a momentos debe diseñarse para resistir independientemente por lo menos el 25% del esfuerzo cortante basal máximo admisible de diseño, y puede llevarse a cabo por medio de un análisis dinámico apropiado o por medio de un análisis de fuerza horizontal equivalente.
13.5
EL ANÁLISIS POR HISTORIA DEL TIEMPO (CRONOLÓGICO)[2]
Determina
la respuesta de la estructura a través de una integración numérica sobre
pequeños incrementos de tiempo, cuando la base está sujeta a una cronología
específica del movimiento del suelo.
La
metodología de un análisis dinámico cronológico puede ser utilizada cuando a
juicio del ingeniero diseñador ella describe adecuadamente las propiedades
dinámicas de la estructura y conduce a resultados representativos de los
movimientos sísmicos de diseño. El modelo matemático empleado puede ser
linealmente elástico o inelástico.
13.6
SIMULADOR
ESTRUCTURAL.
Esta
sección describe los tipos básicos de análisis disponibles en el Programa
SAP2000
Diferentes
tipos de análisis son disponibles en el Programa:
- Análisis estático
- Análisis P-delta
- Análisis Modal para los
modos de vibración, usando eigenvectores o vectores de Ritz
Análisis
del espectro de respuesta para una respuesta sísmica
Análisis
dinámico cronológico: lineal, no lineal y periódico.
- Análisis de cargas móviles
para cargas vivas de vehículos en puentes
Estos
diferentes tipos de análisis pueden desarrollarse en la misma ejecución del
programa, con las siguientes excepciones:
- El análisis modal requiere
realizar un análisis espectral o un análisis dinámico cronológico.
- Solamente un análisis modal
puede realizarse en una sola corrida: el análisis de eigenvectores o el
análisis de vectores de Ritz
Cuando
se realiza el análisis del efecto P-delta, afecta los resultados de todos los
otros análisis realizados en la misma ejecución del programa.
13.6.1 Análisis de Eigenvectores
El
análisis de eigenvectores determina las formas modales para vibración libre no
amortiguada y frecuencias del sistema. Estos modos naturales proporcionan una
visión excelente en el comportamiento de la estructura. Éstos también pueden
usarse como base para el análisis del espectro de respuesta o el análisis
dinámico cronológico, aunque se recomiendan los vectores de Ritz para este
propósito.
El
análisis de Eigenvectores involucra la solución de la ecuación de eigenvalores
generalizado dado por la ecuación 10.17:
donde:
K = es la matriz de rigidez
M = es la matriz diagonal de masa
W = es la matriz diagonal de
eigenvalores
F = matriz de los correspondientes
eigenvectores (formas modales)
Cada
par de Eigenvalor-Eigenvector es llamado modo de vibración natural de la
estructura. Los Modos se identifican por los números del 1 al n,
en el orden en que los modos son encontrados por el programa.
El
eigenvalor es el cuadrado de la frecuencia circular, w, para ese modo, (a menos de que
se utilice un cambio de frecuencia). La frecuencia cíclica, f, y
periodo, T, del modo se relacionan con w por medio de:
y
Se
puede especificar el número de modos a ser encontrado, una tolerancia de la
convergencia, y el rango de frecuencia de interés. Estos parámetros se
describen a continuación:
Numero
de Modos
Se
puede especificar el número de modos, n, a ser hallado. El
programa busca los n Modos de frecuencias bajas (periodos
largos). Si un cambio de frecuencia diferente de cero ha sido especificado, el
programa buscará los n modos más cercanos al cambio de
frecuencia.
El
número de modos realmente hallados, n, esta limitado por:
- El numero de modos
requerido, n, para un adecuado análisis dinámico, ver la
sección 13.4.1
- El número de modos
presentes en el rango de frecuencias especificado.
- El número de grados de masa
de libertad en el modelo.
Un
grado de masa de libertad es cualquier grado activo de libertad que posee masa
traslacional o el momento de masa rotacional de inercia. La masa puede
asignarse directamente a un nudo o puede venir de los elementos conectados.
Sólo
los Modos que realmente se encuentran estarán disponibles para cualquier
subsecuente análisis del espectro de respuesta o el análisis dinámico
cronológico.
Rango
de frecuencia
Se
puede especificar un rango de frecuencia restringido, en el que se buscarán los
Modos de vibración, usando los parámetros:
- Shift: centro del rango de
frecuencias cíclico, conocido como la frecuencia de cambio
- cut: radio del rango de
frecuencia cíclico.
El
programa buscara sólo los modos con las frecuencias que satisfacen:
½ f - shift
½ £ cut
El
valor por defecto de cut = 0 no restringe el rango de frecuencia de los
modos.
Los
modos son hallados en el orden creciente de distancia de la frecuencia de
cambio (shift). Esto continúa hasta alcanzar, cut , el número
definido de modos, o el el número de grados de masa de libertad.
Una
estructura estable tendrá todas las frecuencias naturales positivas. Al
realizar un análisis sísmico y más otros análisis dinámicos, los modos de
bajas-frecuencia son normalmente de mayor interés. Es entonces apropiado usar
un shift igual a cero, resultando en modos de frecuencias bajas de la
estructura calculada.
Si el
programa detecta modos de frecuencias negativas, éste detendrá el análisis
puesto que los resultados no tienen sentido. Para evitar problemas es
recomendable usar siempre valores positivos de shift con un análisis
P-delta, es recomendable también que un análisis preliminar P-delta sea
realizado usando shit igual a cero.
Tolerancia
de convergencia
El
SAP2000 resuelve para el par de Eigenvalor-Eigenvector usando un algoritmo de
iteración. Durante la fase de solución, el programa proporciona un eigenvalor
aproximado después de cada iteración. Para mayores detalles del algoritmo, ver
Wilson y Tetsuji (1983).
Se
puede especificar la tolerancia de la convergencia relativa, tol, para
controlar la solución; el valor por defecto es tol =10-5, que
es un valor aceptable, para obtener buenos resultados y relativa rapidez en la
solución del modelo. Se puede establecer valores más pequeños de tol,
para obtener mejores aproximaciones en los resultados del par de
Eigenvalor-Eigenvector a costa de mayor tiempo de computo.
13.6.2 Análisis del Vector de Ritz
Las
investigaciones han indicado que las formas modales en vibración libre no son
las mejores bases para el análisis de superpoción modal de estructuras sujetas
a cargas dinámicas. Ha sido demostrado (Wilson, Yuan, y Dickens, 1982) que el
análisis dinámico basado en un juego especial de vectores de Ritz dependientes
de carga, proporcionan resultados más exactos que el uso del mismo número de formas
modales naturales.
La
razón de que los vectores de Ritz dan excelentes resultados, es que son
generados tomando en cuenta la distribución espacial de la carga dinámica.
13.6.3 Resultados del Análisis Modal
Varias
propiedades de los modos de vibración son impresos en el archivo de resultados.
Esta información es la misma independientemente si se usa un análisis de
eigenvectores o un análisis de vectores de Ritz, y es descrito en las
siguientes secciones:
Periodos
y Frecuencias
Las
siguientes propiedades de periodos y frecuencias son impresas para cada Modo:
- El periodo T, en
unidades de tiempo.
- La frecuencia cíclica, f,
en unidades de ciclos por tiempo.
- La frecuencia circular, w, en unidades de radianes por tiempo.
- El eigenvalor, w2, en unidades de radianes por tiempo al
cuadrado.
Éstos
pueden hallarse en el archivo de resultados bajo el título de:
MODAL PERIODS AND FRECUENCIES
Factor
de Participación
Los
factores de participación para los n modos correspondientes, son
referidos al sistema de coordenadas globales X, Y y Z, y puede hallarse en el
archivo de resultados bajo el título de:
MODAL PARTICIPATION FACTORS
Las
magnitudes reales y los signos de los factores de participación no son
importantes. Lo que es importante es el valor relativo de los tres factores
para un modo dado.
Relación
masa participación
La
relación masa participación para un Modo dado es una medida de cómo de
importante es el Modo para calcular la respuesta para una carga de aceleración
en cada una de las direcciones globales. Esto es útil para determinar la
exactitud del análisis del espectro de respuesta y el análisis dinámico
cronológico. La relación masa participación no proporciona una información
sobre la exactitud de análisis dinámico cronológico sujeta a otras cargas.
La
relación masa participación es expresada en porcentaje y puede hallarse en el
archivo de resultados bajo el título de:
MODAL PARTICIPATING MASS RATIOS
La suma
acumulativa de la relación masa participación para todos los Modos hasta el
Modo n es impreso con los valores individuales para cada Modo.
Esto proporciona una medida simple de cuantos modos son requeridos para lograr
un nivel dado de exactitud para una carga de aceleración del suelo.
13.6.4 Análisis del Espectro de Respuesta
El
análisis del espectro de respuesta busca la máxima respuesta probable. La
aceleración sísmica del suelo en cada dirección es dada como una curva
digitalizada del espectro de respuesta de seudo aceleración espectral de
respuesta versus el periodo de la estructura.
Aunque
pueden especificarse las aceleraciones en las tres direcciones, sólo un
resultado positivo es producido para cada cantidad de respuesta. Las cantidades
de respuesta incluyen: desplazamientos, fuerzas y esfuerzos. Cada cálculo del
resultado representa una medida estadística de la máxima magnitud probable para
una cantidad de respuesta.
El
análisis del espectro de respuesta es realizado usando el método de la superposición
modal (Wilson y Button, 1982).
Los Modos pueden calcularse usando un análisis de eigenvectores o un análisis
de vectores de Ritz. Se recomiendan los vectores de Ritz, puesto que éstos dan
resultados más exactos para el mismo numero de Modos.
Cualquier
número de análisis del espectro de respuesta puede realizarse en una sola
ejecución del programa. Cada caso de análisis es llamado Spec, para el
que se asigna una única etiqueta. Cada Spec puede diferir en el espectro
de aceleración aplicado y la manera en que sus resultados son combinados. Los
resultados de cada Spec pueden imprimirse directamente o usados en
combinaciones de carga.
En las
siguientes secciones se detallan los parámetros que se utilizan para definir
cada Spec.
Sistema
de coordenadas locales
Cada
Spec tiene su propio sistema de coordenadas locales del espectro de
respuesta usado para definir la dirección de la carga de aceleración del
suelo. Los ejes de este sistema local son denotados por: 1, 2 y 3, por defecto
éstos corresponden a las direcciones globales X, Y y Z respectivamente.
Se
puede cambiar la orientación del sistema de coordenadas locales especificando:
- Un sistema de coordenadas csys
(por defecto es cero, indicando el sistema de coordenada global)
- Un ángulo de coordenada, ang
(por defecto es cero)
El eje
local 3 es siempre el mismo que el eje Z del sistema de coordenadas csys.
Los ejes locales 1 y 2 coinciden con los ejes X y Y de csys si el ángulo
ang es cero. Por otra parte, ang es el ángulo del eje X con el
eje local 1, medido según la ley de la mano derecha.
Curva
del espectro de respuesta
La
curva del espectro de respuesta para una dirección dada se define por los
puntos digitalizados de una respuesta de seudo aceleración espectral versus el
periodo de la estructura. Todos los valores para las abscisas y ordenadas de
esta función deben ser mayores o iguales a cero.
Se
puede especificar un factor de escala, sf, para multiplicar las
ordenadas (respuesta de seudoaceleración espectral) de la función. Esto es a
menudo necesario para convertir los valores dados en términos de la aceleración
debido a la gravedad para las unidades consistentes al resto del modelo.
La
curva del espectro de respuesta debe reflejar el amortiguamiento presente en la
estructura a ser modelada. Note que el amortiguamiento es esencial en esta
curva del espectro. Éste no es afectado por la relación de amortiguamiento, damp,
usado para el método CQC o GMC de combinación modal, aunque normalmente estos
dos valores de amortiguamiento deben ser el mismo.
Combinación
Modal
Para
una dirección dada de aceleración los desplazamientos máximos, las fuerzas, y
los esfuerzos son calculados a lo largo de la estructura para cada uno de los
Modos de Vibración. Estos valores modales se combinan para una cantidad de
respuesta dada para producir un solo resultado positivo para la dirección de
aceleración dada utilizando uno de los siguientes métodos:
Método
CQC
Se
especifica modc=CQC para combinar los resultados modales por la técnica
de Combinación Cuadrática Completa descrita por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo
(1981). Es el método presente por defecto en el programa.
El
método CQC toma en cuenta el acoplamiento estadístico entre modos estrechamente
espaciados causados por el amortiguamiento. Incrementando el amortiguamiento
modal, incrementa el acoplamiento entre modos estrechamente espaciados. Si el
amortiguamiento es cero para todos los modos, este método degenera en el método
SRSS.
Puede
especificarse una relación de amortiguamiento modal para CQC, damp,
medido como una fracción del amortiguamiento critico: 0£damp£1. Este amortiguamiento
igualmente afecta a todos los modos, y debe reflejar el amortiguamiento
presente de la estructura a ser modelada.
Método
GMC
SE
especifica modc=CQC para combinar los resultados modales por la técnica
de Combinación Modal General, descrito por Gupta (1990). Este método además de
tomar en cuenta el acople estadístico entre modos estrechamente espaciados,
(CQC), también incluye las correlaciones entre los modos con respuesta rígida.
Adicionalmente,
este método requiere especificar dos frecuencias, f1 y f2 que
definen la respuesta rígida. Éstos deben satisfacer: 0<f1<f2. Éste
método asume respuesta no rígida debajo de la frecuencia f1, una
respuesta completamente rígida encima de la frecuencia f2, y una
cantidad interpolada de respuesta rígida para las frecuencias entre f1 y
f2.
Las
frecuencias f1 y f2 son propiedades del sismo de diseño, no de la
estructura.
El
valor por defecto de f2 es cero, que indica una frecuencia infinita.
Para este valor por defecto, el método GMC da resultados similares al método
CQC.
Método
SRSS
Se
especifica modc=SRSS para combinar los resultados modales por la técnica
de la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados. Este método no toma en cuenta
el amortiguamiento, ni ningún acople de modos, como lo hacen los métodos CQC y
GMC.
Método
de la Suma Absoluta
Se
especifica modc=ABS para combinar los resultados modales tomando la suma
absoluta de sus valores. Este método es normalmente muy conservador.
13.6.5 Resultados del Análisis del Espectro de Respuesta
Los
resultados para cada análisis del espectro de respuesta se encuentran en el
archivo de resultados. Esta información es descrita en las siguientes
secciones:
Aceleraciones
y amortiguamiento
El
amortiguamiento modal y las aceleraciones del suelo actuando en cada dirección
son impresos para cada modo bajo el título de:
RESPONSE SPECTRUM ACCELERATIONS
El
valor del amortiguamiento para cada modo es el especificado para el Método CQC
y GMC, más el amortiguamiento modal contribuido por el amortiguamiento efectivo
en elementos no lineales, si es que hubiera.
Las
aceleraciones impresas para cada modo son los valores reales interpolados de la
curva de espectro de respuesta para el periodo respectivo. Las aceleraciones
son siempre referidos a los ejes locales del análisis del espectro de
respuesta. Ellos son identificados en el archivo de resultados como U1, U2 y
U3.
Amplitudes
Modales
Estos
valores son impresos en el archivo de resultados bajo el título de:
RESPONSE SPECTRUM MODAL AMPLITUDES
Factores
de Correlación Modal
Cuando
el tipo de combinación modal CQC o GMC es definido, una matriz de correlación
modal parcial es impreso en el archivo de resultados. Esta matriz muestra el
acoplamiento asumido entre modos estrechamente-espaciados. Los factores de la
correlación siempre están entre cero y uno.
Los
factores de correlación acoplando cada modo con los próximos nueve modos más
altos son impresos en el archivo de resultados bajo el título de:
RESPONSE SPECTRUM MODAL CORRELATIONS
Esta
matriz de correlación es simétrica.
Reacciones
en la Base
Las
reacciones en la base son las fuerzas totales y momentos sobre los soportes
(restricciones y resortes) para resistir las fuerzas de inercia debido a las
cargas del espectro de respuesta (cargas laterales). Éstos son impresos en el
archivo de resultados bajo el título de:
RESPONSE SPECTRUM BASE REACTIONS
Éstos
están separadamente impresos para cada Modo individual y cada dirección de
cargar sin ninguna combinación. Las reacciones totales están impresas después
de realizar la combinación modal y la combinación direccional.
Las
fuerzas de reacción y momentos son siempre referidos a los ejes locales del
análisis del espectro de respuesta. Éstos se identifican en el archivo de
resultados como F1, F2, F3, M1, M2, y M3.